De moeizame worsteling van Johannes Kepler (1571-1630)

Door: dr. Henk Ton (SVPL)

“Kepler, leerling van de aarde, bestormt de hemel. Zoek geen ladder: het is de aarde zelf die de vlucht maakt” J. Seussius, Dresden

Johannes Kepler is vooral bekend geworden door de 3 wetten van Kepler, opgesteld in de periode 1601-1619. Deze 3 wetten geven een wiskundige beschrijving van de planeetbewegingen om de zon. Ze zijn vooral gebaseerd op de voor die tijd uiterst nauwkeurige meetresultaten van Tycho Brahe. In dit artikel wordt de moeizame zoektocht naar de eerste 2 wetten beschreven. Het merkwaardige hierbij is dat de tweede wet (de zgn. Perkenwet) 4 jaar eerder werd gevonden dan de eerste wet (planeten bewegen langs ellips met zon in brandpunt) Mysterium Cosmographicum. In de periode 1594-1600 is Johannes Kepler Provinciaal Mathematicus in Graz, de hoofdstad van de Oostenrijkse provincie Steiermark. Hij houdt zich daar ook met sterrenkunde bezig en publiceert de “Mysterium Cosmographicum”. Hij gaat daarbij uit van het model van Copernicus met de zon als middelpunt van het zonnestelsel. Dit model is volgens hem superieur vanwege twee redenen:
- Kan retrograde beweging van planeten verklaren (tijdelijk schijnbare beweging in tegengestelde richting)
- Is niet alleen wiskundige, maar ook fysische en kosmografische beschrijving Kepler maakt aldus de overgang van een “positie” astronomie naar werkelijke astrofysica: hij vraagt naar de oorzaken van de hemelbeweging. En hij stelt dat de beweging van de planeten wordt veroorzaakt door de aantrekkende kracht van de zon, die volgens hem met 1/r afneemt (r = afstand).

In die periode stelt Kepler zich drie vragen:
1. Waarom is er precies dit aantal planeten? (Op dat moment 6)
2. Waarom bevinden deze zich op de gegeven afstanden van de zon?
3. Waarom verplaatsen ze zich met de gegeven snelheden?

De Mysterium Cosmographicum is gebaseerd op de vijf verschillende regelmatige veelvlakken, die er bestaan (de zgn. platonische veelvlakken). Kepler veronderstelt dat elke planeetbaan in een bolvormig oppervlak rond de zon past, dat inwendig aan een van de regelmatige veelvlakken raakt en uitwendig aan het volgende regelmatige veelvlak.

De volgorde is aldus:
1. Mercurius Octaëder (8 driehoeken)
2. Venus Icosaëder (20 driehoeken)
3. Aarde Dodecaëder (12 vijfhoeken)
4. Mars Tetraëder (4 driehoeken)
5. Jupiter Kubus (6 vierkanten)
6. Saturnus

Om tot een redelijke overeenstemming met de waarnemingen te komen moeten de bollen een zekere dikte hebben en staat de zon niet helemaal in het midden. Kepler publiceert zijn bevindingen in 1597 in de Mysterium Cosmographicum. Exemplaren worden toegezonden aan belangrijke tijdgenoten als Galileo Galilei en Tycho Brahe. Galilei is enthousiast en schrijft in augustus 1597 aan Kepler: “Ik ben al jaren een aanhanger van de theorie van Copernicus. Ik heb de vele redenen die mij ertoe brengen om deze theorie te prefereren op schrift gesteld, evenals de weerlegging van de argumenten tegen de theorie. Maar ik heb er nog niets over durven publiceren. Ik zou zeker de moed kunnen opbrengen om mijn mening openbaar te maken als er meer mensen zoals u zouden zijn. Omdat dit echter niet het geval is zal ik toch vermijden om positie in te nemen”. Als gevolg van problemen tussen lutheranen en katholieken moet Kepler begin 1600 Graz verlaten. Hij wordt dan assistent van de beroemde Deense sterrenkundige Tycho Brahe, die op dat moment (vanaf 1599) hofastronoom van keizer Rudolf II in Praag is.

Tycho Brahe heeft in de loop van de tijd een groot aantal zeer nauwkeurige metingen van de planeetbewegingen verzameld. Kepler krijgt de opdracht de retrograde beweging van Mars te bestuderen, waarbij Tycho er van uit gaat dat Kepler zijn model zal gebruiken (een compromis tussen de modellen van Ptolemaeus en Copernicus). Tycho Brahe sterft onverwacht in oktober 1601 t.g.v. de complicaties van een uitgebreid en overdadig diner. Kepler volgt hem dan op als keizerlijk astronoom en krijgt de beschikking over alle meetgegevens van Tycho. Hij gaat hiermee aan de slag, ontdekt dat het model met de veelvlakken uit de Mysterium Cosmographicum niet voldoet en formuleert als alternatief in de daarop volgende jaren de zgn. eerste twee wetten van Kepler (de tweede wet in 1602, de eerste wet in 1606; het geheel wordt gepubliceerd in de Astronomia Nova in 1609). Kepler denkt aanvankelijk dat hij met behulp van de gegevens van Tycho in een aantal weken een goed model voor de planeetbewegingen zal kunnen formuleren. In werkelijkheid zal het hem zes jaar van moeizaam rekenwerk kosten! Kepler begint met de meetresultaten te vergelijken met de voorspellingen van de modellen van Ptolemaeus (alles draait om de aarde), Copernicus (planeten en aarde draaien om de zon) en Tycho (zon draait om de aarde, planeten om de zon). Hij vindt dat geen van de modellen echt voldoet: in alle gevallen is Mars tenminste vijf boogminuten verschoven t.o.v. de voorspellingen. Om dit probleem op te lossen probeert Kepler een eigen model te formuleren, waarbij hij er vanuit gaat dat de zon centraal in het zonnestelsel staat en de oorzaak is van de beweging van de aarde en van de andere planeten. Het eerste model wat hij probeert maakt gebruik van zgn. “equanten” (ook al door Ptolemaeus in zijn model gebruikt). De aarde beweegt dan in een cirkel, waarbij de zon niet precies in het middelpunt staat en waarbij de beweging (ofwel de verandering van de hoek α) uniform is gezien vanuit de equant. (zie illustratie) Dit betekent dus dat de beweging van de aarde in het perihelium sneller is dan in het aphelium. Een zelfde situatie geldt voor de andere planeten. Aanvankelijk levert dit model tamelijk nauwkeurige resultaten op, maar later vindt Kepler toch in een aantal gevallen grote afwijkingen. Bovendien vindt hij het model fysisch gezien niet elegant en gaat hij verder op zoek naar een beter model.

Allereerst gaat Kepler de baan van de aarde om de zon zeer nauwkeurig in kaart brengen. Hij denkt dan nog steeds dat de aardbaan cirkelvormig is met de zon niet precies in het midden. Na een uitgebreide en moeizame analyse komt Kepler dan in 1602 tot de zgn. Perkenwet: in gelijke tijden worden gelijke oppervlakken afgelegd (zie figuur). De snelheid van de aarde is dan minimaal als de zon het verst weg staat en maximaal als de zon dichtbij staat. Nu hij de baan van de aarde nauwkeurig heeft bepaald, richt Kepler zijn aandacht weer op Mars. Hij komt al vrij snel tot de conclusie dat de baan van Mars geen cirkel kan zijn. Maar wat dan wel? Na 4 jaar van ploeteren en moeizame berekeningen vindt Kepler het antwoord: Mars beweegt in een ellipsbaan met een excentriciteit van 9,3%, met de zon in een van de brandpunten. Deze eerste wet van Kepler wordt geformuleerd in 1606, 4 jaar na de tweede wet. De publikatie in Astronomia Nova vindt pas plaats in 1609. Dit komt enerzijds omdat Kepler de kosten hiervoor moeilijk kan opbrengen, anderzijds omdat toestemming van de erfgenamen van Tycho nodig is. Hoewel het belang van de Astronomia Nova door zijn tijdgenoten slechts zeer ten dele wordt ingezien, zullen zijn wetten Kepler op termijn de nodige roem en eer bezorgen.

Bron: Anna Maria Lombardi “Kepler. Astronoom op zoek naar Harmonie” ISBN 9789085711278